**FRACTALES**

¿Qué es un fractal?

El padre de los fractales es Benoît Mandelbrot. Él los bautizó con el nombre de Fractales.
A la pregunta ¿qué es un fractal? un matemático suele contestar con una definición matemática, usualmente inaccesible para el público general. Por ello, Mandelbrot sugiere no dar definición sino fijarse en las propiedades de los fractales.

Se pueden destacar dos propiedades de las figuras fractales:

Autosimilitud.

Una figura geométrica es autosímil, si al ver una de sus partes con lupa reconocemos la forma de toda la figura de nuevo.

La región en el cuadrado rojo es una copia pequeña de toda la figura. Por lo tanto, la figura se repite en sí misma una y otra vez.

Dimensión quebrada.

Las líneas rectas y el área de un triángulo son figuras geométricas que tienen una dimensión entera: 1 y 2. Los fractales se comportan de manera diferente: son "más que línea" y al mismo tiempo "menos que área", o "más que puntos" y al mismo tiempo "menos que línea", por eso se dice que su dimensión es quebrada o no entera. En la siguiente imagen es realmente difícil decir si la figura se parece más a una línea o a un área:

Definición matemática.

La definición de Mandelbrot es:

Un fractal es una figura cuya dimensión topológica es menor que su dimensión fractal.
Esto no explica nada si no sabemos qué es la dimensión topológica o la dimensión fractal. En la dimensión fractal podrás ver cómo se llega del concepto intuitivo de dimensión a una formulación más elaborada.

La curva final.

En la introducción se presentó el fractal como una curva que se obtiene después de muchos pasos de iteración.

La curva de nivel 1

La curva de nivel 2

















La curva de nivel 3















Aquí se pretende ser más preciso: La curva fractal es la curva al final de toda esta serie de curvas. Para entender mejor esto hagamos una analogía con números:

La sucesión



1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

no se aproxima a algún número, porque crece y crece y no hay un número al final. Ahora abservemos las siguientes series:

0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ...

Estas se comportan de manera diferente. La primera, en la medida que avanza, se aproxima cada vez más al 1. También crece y crece al avanzar, pero nunca rebasa el 1, se aproxima al 1 tanto como queramos. La segunda en cambio se aproxima al 0. Por lo tanto se dice que 1 es el número al final de la primera serie y el 0 el número al final de la segunda serie.

Fractales en la naturaleza.

En esta sección podrás observar algunas imágenes que muestran la existencia de fractales en la naturaleza. La forma que adquieren plantas, sierras montañosas y costas son ejemplos del fenómeno de autosimilitud que caracteriza los fractales.

En los helechos se puede apreciar la autosimilitud: una hojita que sale del tallo tiene la forma de un helecho completo, sólo su tamaño es menor.

La dimensión fractal.

En realidad existe más de una dimensión fractal, que en la mayoría de los casos dan el mismo resultado. Aquí definiremos sólo dos de ellas.

Primera definición (intuitiva)
La dimensión es el número de coordenadas para describir la ubicación de un punto en la figura:
Una línea tiene dimensión uno: basta dar la distancia de uno de sus extremos para fijar un punto en ella. Esto se usa en las carreteras: se toma como referencia una ciudad (es decir un punto extremo de la línea) y se ponen señales que nos indican la distancia a la que nos encontramos de esa ciudad.

La dimensión de similitud.

La dimensión fractal es difícil de calcular. En los ejemplos que provee el simulador de fractales, los fractales son "autosímiles", es decir, una parte de él es una copia de la figura entera a una escala mayor. Esto puede ser utilizado para calcular la dimensión de similitud, que en muchos casos da el valor correcto para la dimensión fractal.
Tomamos de nuevo la curva de Koch. La podemos dividir en 4 partes iguales a toda la figura, a una escala 1/3.

Si medimos la longitud L(a) de la curva con un compás de abertura a y lo comparamos con la longitud L(a/3) que obtenemos si medimos con una tercia de abertura, obtenemos
L(a) = 4/3 * L(a/3)

Cada vez que medimos con una precisión tres veces mayor, obtenemos que la longitud se multiplica por 4/3. La ecuación tiene como solución: L(x) = a^x con x = log 4 /log 3 - 1 = 1.2618 - 1 = D - 1 (D la dimensión fractal de la curva de Koch).

En conclusión: para calcular la dimensión de similitud hay que calcular
log N / log e

donde N es el número de partes similares y e el factor escala (cuántas veces hay que ampliar cada parte para obtener toda la figura).

Si hay partes a diferente escala el cálculo es un poco más complicado.

La dimensión de similtud indica bien la dimensión fractal si en el fractal no hay intersecciones, es decir puntos por donde pase el fractal más de una vez.